2023-07-09 17:14:20 | 高校网
回答如下:极坐标下交换积分次序可以使用 Fubini 定理,即:
$$
\iint\limits_{D} f(r,\theta)\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \int_{0}^{R(\theta)} f(r,\theta)\,r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta
$$
其中 $D$ 是极坐标下的一个区域,$f(r,\theta)$ 是要积分的函数,$R(\theta)$ 是在角度 $\theta$ 下的半径。这个公式可以将极坐标下的双重积分转化为先对 $r$ 积分再对 $\theta$ 积分的形式。
二重积分如果可行的话先积后面,如果不可行的话,可以交换积分次序,但积分的上下限要作相应的改变。
在积分区域连续
可以进行交换,因为极坐标系下也可以使用乘积法则进行积分,并且交换积分次序不会影响积分结果。例如,如果要求一个被圆的内部所包围的区域的面积,可以考虑使用极坐标来表示它,然后对半径和角度进行积分;如果先对半径积分,然后再对角度积分,就成为了对函数积分和对角度积分。这个过程可以理解为,先对每个角度的弧长进行积分,再对所有的角度进行累加,得到整个圆内部的面积。高校网
二重积分公式是:∫∫f(x,y)dxdy x、y是未知数,分量,dx、dy是对应的分量的微元;两个的书写顺序可以随机交换。 f(x,y)是被积函数,既然是二重积分,被积函数肯定是跟两个分量有关的,也可以只有其中一个分量,或者常数都行。 ∫是积分符号,一个符号对应一个分量的积分。有几个分量就写几个∫。如果积分是有范围的区间从a→b,则称为定积分;只有一个∫符号没有上下界称为不定积分。
比如,二重定积分是从坐标(a,b)→(c,d)。其中a、b、c、d可以是有限数,也可以是+∞或者-∞。
1、首先要作出积分的区域,再看先对哪个做出积分,如果先对x积分,则作一条平行于x轴的直线穿过积分区域,与积分区域的交点就是积分上下限,同理,如果是先对y积分,就作一条平行于y轴的,直线穿过积分上下限。
2、交换积分次序的时候,根据积分区域的不同,可能会涉及到把两个积分合成一个积分,也可能会把一个积分分成两个积分,所以具体依积分区域而定。
3、由已知的累次积分写出积分的区域D,然后再画出D的示意图,再由D的示意图画出写出D的另一类的表达式,从而就可以写出表达式。
方法已经给出来了,例题建议从对应章节例题和课后习题查找练习。
二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力(压强可变)
计算如下
例题
本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。
平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。
二重积分计算方法为将其化为二次积分计算,重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。
平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。
第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面,计算该曲面的质量。
第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速,计算单位时间流经曲面的总流量。
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