三重积分交换积分次序的方法(二重积分怎么换元)

• 1. 三重积分如何转换成极坐标？
• 2. 为什么曲线积分可以替换三重积分不可以？
• 3. 二重积分怎么求体积？有几种求法？
• 4. 二重积分的形式？
• 5. 谁能清楚的告诉我二重积分到底怎么算？
• 6. 二重定积分计算步骤？
• 7. 三重积分如何列式子？
• 8. 双重积分，怎么做？

1、三重积分如何转换成极坐标？

1. 三重积分可以转换成极坐标。2. 因为在三维空间中，极坐标系可以用来描述一个点的位置，而三重积分可以用来计算一个空间区域内的体积。因此，将三重积分转换成极坐标系可以使计算更加简便。3. 在转换成极坐标系时，需要将积分区域用极坐标表示，并将积分元素用极坐标系下的微元表示，然后将被积函数用极坐标系下的变量表示。最后，将积分上下限用极坐标系下的变量表示，即可进行积分计算。

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz

2、为什么曲线积分可以替换三重积分不可以？

因为三重积分的积分上下限区域不一样

3、二重积分怎么求体积？有几种求法？

二重积分的几何意义就是体积，求二重积分实质上就是求体积。其中积分区域就是曲顶柱体的底面积，被积函数就是曲顶柱体的高。高数下册课本第138就有二重积分的几何意义，可以参考看一下。求法大概有三种，直角坐标系下先对x积分再对y积分，或者先对y积分再对x积分，或者用极坐标计算。

4、二重积分的形式？

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。

二重积分的本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

几何意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

5、谁能清楚的告诉我二重积分到底怎么算？

计算方法有两大类：1、利用直角坐标计算X型积分区域

Y型积分区域2、利用极坐标计算（当被积函数出现x^2+y^2时优先考虑）要点：二重积分的计算一般要化成累次积分来计算做题时要会利用积分区域的对称性会利于被积函数的奇偶性要会交换坐标系

计算技巧：第一步：先画积分区域，并观察积分区域是不是关于某个坐标轴对称，有对称性解题会方便很多！第二步：利用合适的坐标系进行计算，是选直角坐标还是选极坐标，是选X型还是Y型还是r-θ型，并考虑被积函数是否有奇偶性！二重积分是二元函数在空间上的积分，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。同定积分类似。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的曲面上进行积分，称为曲面积分。

6、二重定积分计算步骤？

先对y积分，此时x相对y为常数，得到结果后代入被积函数再对x积分，

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

7、三重积分如何列式子？

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。高校网

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；

②函数条件：f（x，y，）仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ

①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；

②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。

①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；

②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。

三重积分的表达式由积分区域的边界和被积函数构成。首先确定积分区域，可以通过图形、方程或坐标轴等方式确定。然后，根据被积函数的表达式，将其乘以微元体积的因子，并将这个函数乘以微元体积与被积函数相乘，最后进行求和。因此，三重积分的表达式一般形如∫∫∫_V f(x,y,z)dV，其中V表示积分区域，f(x,y,z)是被积函数。根据具体情况，可选择直角坐标、柱坐标或球坐标下的三重积分形式，并确定相应的积分限。最后，通过计算积分的值，可以得到三重积分的结果。

8、双重积分，怎么做？

1.首先要作出积分的区域，再看先对哪个做出积分，如果先对x积分，则作一条平行于x轴的直线穿过积分区域，与积分区域的交点就是积分上下限，同理，如果是先对y积分，就作一条平行于y轴的，直线穿过积分上下限。

2.交换积分次序的时候，根据积分区域的不同，可能会涉及到把两个积分合成一个积分，也可能会把一个积分分成两个积分，所以具体依积分区域而定。

3.由已知的累次积分写出积分的区域D，然后再画出D的示意图，再由D的示意图画出写出D的另一类的表达式，从而就可以写出表达式。拓展资料：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等，平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。