三重积分的对称性总结(三重积分先二后一怎么做)

• 1. 为什么三重积分中有部分式子积分为0？
• 2. 三重积分奇偶性的判定方法？
• 3. 三重积分投影法怎么理解？
• 4. 三重积分奇偶对称性怎么看？
• 5. 三重积分轮换对称性公式？
• 6. 三重积分的计算方法？
• 7. 为什么三重积分对称就等于0？

1、为什么三重积分中有部分式子积分为0？

因为∑1 平面和yOz平面垂直，所以那部分积分为零

至于三重积分对称性看下面

主要看积分区域

1.如果积分区域关于xoy平面对称，则被积函数如果是f（-z）=-f（z），则积分为0

被积函数如果是f（-z）=f（z），则积分为2倍积分正z区间

2.如果积分区域关于xoz平面对称，则被积函数如果是f（-y）=-f（y），则积分为0

被积函数如果是f（-y）=f（y），则积分为2倍积分正y区间

3.如果积分区域关于yoz平面对称，则被积函数如果是f（-x）=-f（x），则积分为0

被积函数如果是f（-x）=f（x），则积分为2倍积分正x区间

2、三重积分奇偶性的判定方法？

当空间区域Ω关于坐标面（如：空间区域Ω关于yoz 坐标面)对称，被积函数关于另一个字母（如：被积函数关于z为奇函数）为奇函数，则三重积分为0。

类似，还有两种情况。

以这个题为例，第一个空间区域Ω关于yoz坐标面对称，第二个条件是被积函数xz是关于x的奇函数，所以三重积分∫∫∫xzdv=0；

空间区域Ω关于xoz坐标面对称，被积函数xy是关于y的奇函数，所以三重积分∫∫∫xydv=0；

空间区域Ω关于xoz坐标面对称，被积函数yz是关于y的奇函数，所以三重积分∫∫∫yzdv=0；

所以，三重积分2∫∫∫(xy+yz+xz)dv=0

3、三重积分投影法怎么理解？

投影法又称为穿针法或先一后二法，即将三重积分化为先一次积分后二重积分，最终化为三次积分来计算，它的适用条件是积分区域在某个坐标面（如xoy面）上的投影区域容易确定，而且过投影区域上任意一点做垂直于该坐标面的直线穿过积分区域时，穿进和穿出的曲面方程易知；

截面法又称为切片法或先二后一法，即将三重积分化为先二重积分后一次积分，最终化为三次积分来计算，它的适用条件是被积函数只跟一个变量（如z）有关，用平行于xoy面的平面截积分区域时，截面的面积易知，此时用截面法最为简单。

4、三重积分奇偶对称性怎么看？

当空间区域Ω关于坐标面（如：空间区域Ω关于yoz 坐标面)对称，被积函数关于另一个字母（如：被积函数关于z为奇函数）为奇函数，则三重积分为0。

类似，还有两种情况。

以这个题为例，第一个空间区域Ω关于yoz坐标面对称，第二个条件是被积函数xz是关于x的奇函数，所以三重积分∫∫∫xzdv=0；

空间区域Ω关于xoz坐标面对称，被积函数xy是关于y的奇函数，所以三重积分∫∫∫xydv=0；

空间区域Ω关于xoz坐标面对称，被积函数yz是关于y的奇函数，所以三重积分∫∫∫yzdv=0；

所以，三重积分2∫∫∫(xy+yz+xz)dv=0

5、三重积分轮换对称性公式？

当空间区域Ω关于坐标面（如：空间区域Ω关于yoz 坐标面)对称，被积函数关于另一个字母（如：被积函数关于z为奇函数）为奇函数，则三重积分为0。

积分区域关于坐标面对称，被积函数是关于x,y,z的奇偶函数，这是一种，还有一种是对自变量的对称性，当自变量x,y,z任意交换顺序后，积分区域不变，则交换顺序后的积分值也不变，这个也叫轮换对称性。

6、三重积分的计算方法？

三重积分的计算，首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。1、先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。2、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

一先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

1、区域条件：对积分区域Ω无限制；

2、函数条件：对f（x,y,z）无限制。

二、先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

1、区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；

2、函数条件：f（x，y，）仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ

（1）、区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；

（2)、函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。

（3）、区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；

（4）、函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。

7、为什么三重积分对称就等于0？

因为三重积分为奇函数关于原点对称，面积的代数和为零。高校网