极坐标交换积分次序的方法(极坐标交换积分次序怎么看)

• 1. 重积分知识点的总结？
• 2. 双重积分dxdy怎么求？
• 3. 二重积分极坐标算法怎样确定角范围？
• 4. dxdy转换极坐标怎么推导？

1、重积分知识点的总结？

1、⼆重积分的建模思想与模型构建步骤

(1) 建模思想：微元法（元素法）

“⼤化⼩, 常代变, 近似和，取极限”

(2) 模型转换

公式中△σk表⽰⼩区域⾯积，括号中△σk表⽰区域。

2、⼆重积分的⼏何意义与物理意义

⼏何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表⽰积分区域D的⾯积；

(2) 当f(x,y)≥0，则表⽰以积分区域D，以D的边界为准线，母线平⾏于z轴的柱⾯为侧⾯，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.

物理意义：当f(x,y)>0，则表⽰⾯密度为ρ=f(x,y)的，占有平⾯区域D的平⾯薄⽚的质量.

3、⼆重、三重积分的计算性质

除了线性运算性质、对积分区域的可加性、保序性、绝对值不等式、估值定理、积分中值定理外，有如下两个重要的计算性质。

性质(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.

●如果D关于x轴对称，记其x轴上⽅区域为D1，则有

●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有●如果积分区域D关于原点对称，则⼆重积分

其中D1为D的上半部分．

【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使⽤时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶

性之间要匹配。即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对

称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。

性质(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴

下⽅部分记作D1，直线y=x轴上⽅部分记作D2，则有4、直⾓坐标系下的⼆重积分计算步骤与典型例题

第⼀步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).

第⼆步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直

线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶

倍奇零与轮换对称性化简计算)

第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域

的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是则分割积分区域)第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间)

第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平⾏于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向

直线穿过积分区域，⼊点为下限，出点为上限：上下限⼀般为型变量的函数或者直接为常值)

第六步：余变先积分，最后积型变。

如果不考虑积分计算性质简化计算，则可以概括为以下25字计算过程：

画域图定型、投影求型限、画线定余限、余变先积分、最后积型变

1. 重积分是高等数学中的一个重要知识点。2. 重积分是对二元函数在某个区域上的积分，其计算方法包括二重积分和三重积分。重积分可以用于求解物理、经济、工程等领域中的实际问题，如质心、转动惯量、电荷分布等。3. 在学习重积分时，需要掌握区域的表示方法、积分顺序的选择、换元积分法、极坐标系下的积分等知识点。同时，还需要了解重积分的应用，如计算物体的体积、质心、转动惯量等。

2、双重积分dxdy怎么求？

双重积分的积分区域在一个平面上：

.直角投影法：分别在x轴和y轴上投影。先确定x的取值范围，然后从x的坐标区域做一条垂线交于曲线，分别得到y1(x)和y2(x)；这种积分先对x积分，再对y积分；先确定y的取值范围，然后从y的坐标区域做一条垂线交于曲线，分别得到x1(y)和x2(y)，这种积分先对y积分，再对x积分。

1.极坐标法：当积分区域或被积函数含有x∧2+y∧2时，使用极坐标法。

2.首先确定θ和r的取值范围，r的取值范围可以用x=rcosθ,y=rsinθ代入积分区域的函数得到，或者直接从积分区域观察出来；将x=rcosθ,y=rsin代入被积函数，dxdy=rdrdθ，积分式中前面写对θ的积分，后面写对r的积分

双重积分dxdy的求值是在二维平面上对被积函数进行积分，具体的计算方法是对该函数进行变量替换，将二重积分转化为一重积分。具体操作为先对内层积分变量进行积分，然后再对外层积分变量进行积分。其中，内层积分变量的范围是根据外层积分变量确定的。如果是对一般区域进行积分，可以采用极坐标系或者矩形坐标系进行变量替换。如果被积函数是奇函数，则对称区间的积分可以用一半的值表示。如果被积函数是偶函数，则可以将积分区间扩大到整个实数轴上，再将积分结果除以2。

3、二重积分极坐标算法怎样确定角范围？

一、一般分3种情况：

原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2pi；

2.原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止；

3.原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。

二、方法：

1、将积分区域，分成一个个单连通区域；

2、所谓的单连通区域，就是任何极半径， 最多只能穿透一次、再触及区域曲线；

3、每一个单连通区域，都具有两根切线；

4、对每一个单连通区域，积分时的角度， 按顺时针方向，从第一根切线的角度， 积分到第二根曲线的角度；

5、整体的积分，就是对每个单连通区域的积分， 然后求和，得到最后结果；

6、角度必须是弧度制

4、dxdy转换极坐标怎么推导？

要将直角坐标系下的面积元素 $dxdy$ 转换为极坐标系下的面积元素 $r dr d\theta$，我们可以通过变量替换和雅可比行列式的方法来推导。下面是推导的步骤：

1. 首先，我们将直角坐标系中的变量 $x$ 和 $y$ 转换为极坐标系中的变量 $r$ 和 $\theta$。这可以通过以下关系完成：

$$

\begin{align*}

x &= r \cos(\theta) \\

y &= r \sin(\theta)

\end{align*}

$$

2. 接下来，我们计算变量 $x$ 和 $y$ 对变量 $r$ 和 $\theta$ 的偏导数。这可以用于构建雅可比行列式。计算如下：

$$

\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}

$$

3. 对上式中的偏导数进行计算：

$$

\begin{align*}

\frac{\partial x}{\partial r} &= \cos(\theta) \\

\frac{\partial x}{\partial \theta} &= -r \sin(\theta) \\

\frac{\partial y}{\partial r} &= \sin(\theta) \\

\frac{\partial y}{\partial \theta} &= r \cos(\theta)

\end{align*}

$$

4. 将上述计算结果代入雅可比行列式的公式中，得到：

$$

\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos(\theta) & -r \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & r \cos(\theta) \end{vmatrix} = r

$$

5. 最后，我们将 $dxdy$ 转换为极坐标系下的面积元素 $r dr d\theta$，根据雅可比行列式的变换规则：

$$

dxdy = \left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| \, dr \, d\theta = r \, dr \, d\theta

$$

这样，我们就推导出了直角坐标系下的面积元素 $dxdy$ 到极坐标系下的面积元素 $r dr d\theta$ 的转换公式。

1、可以将dxdy用极坐标表示，以x和y表示。2、x和y表示成极坐标系下的r和$\theta$。3、运用链式法则，求解得到dxdy和drd$\theta$的关系公式，即推导出了dxdy转换极坐标的公式。4、在具体应用中，可以根据该公式将一个函数从矩形坐标系下转换为极坐标系下的函数，简化问题的处理与求解。

求x和y关于模长r和幅角θ的偏导数，可得雅可比行列式，可得dxdy等于rdrdθ。