实对称矩阵一定可以相似对角化吗(实对称矩阵一定能对角化怎么证明)

• 1. 重根与特征向量的关系？
• 2. 相似于实对称矩阵的矩阵是否一定可以相似对角化？
• 3. 与矩阵合同的矩阵一定是对角阵吗？
• 4. 反对称矩阵能正交对角化吗？
• 5. 什么样的矩阵必不可相似对角化？
• 6. 正规矩阵一定可以对角化吗？
• 7. 实对称矩阵的特征值一定是互异的？

1、重根与特征向量的关系？

特征方程中，特征值的重数定义为代数重数；而特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。通常情况下，1≤几何重数≤代数重数）。当几何重数=代数重数时，矩阵进行相似变换处理后是对角阵；当几何重数<代数重数时，矩阵相似变换后是Jordan矩阵不一定是对角阵（非主对角线上也会有非零元素）。

注：如果n阶A矩阵可以相似对角化或者二次型（这两个实质就是A就是实对称矩阵，实对称矩阵一定可以相似对角化），那么当矩阵A对应的特征值K1，K2…Ki…Kn中有重根，如二重根或三重根等等。设Km=Kn=a，那么a一定对应有两个线性无关的特征向量（因为A矩阵可以相似对角化，则存在n个线性无关的特征向量，就算有a重根，那么a重根对应的线性无关的特征向量一定有a个）

2、相似于实对称矩阵的矩阵是否一定可以相似对角化？

相似对角化是针对线性变换的。当然有些变换不能对角化。

同一个线性变换的表示矩阵在不同基下是不同的。但线性变换可以转化为标准型，其标准型有有理标准型，jordan型和对角矩阵(特殊的jordan型)。线性变换不一定能对角化，但在复数域上一定可以化为jordan标准型。

若其极小多项式在域上不可约，则可化为有理标准型。对称变换是可以对角化，因为存在一个标准正交基使得对称变换在该基下的表示矩阵为对角距阵。

3、与矩阵合同的矩阵一定是对角阵吗？

不是啊.合同矩阵的定义不就是一个矩阵通过对称得出等行、初等列变化变成另一个矩阵,另一个矩阵可以是对角形矩阵也可以不是,所以原矩阵也不一定是对角形矩阵

实对称矩阵一定能相似对角化（就是与对角阵相似）

普通矩阵不一定能相似对角化

A与B合同定义：A=P'*B*P;

A与B相似的定义：A=inv(P)*B*P;【inv是求逆操作】

所以当P是酉矩阵的话（P*P'=I）,合同等价于相似.

一个矩阵如果能合同与对角型矩阵（标准型）,其结果不是唯一的,与所做的线性变换有关.若线性变换是正交变换,则是由特征值组成的对角阵.

4、反对称矩阵能正交对角化吗？

显然不能，因为若A是实反对称矩阵则Q^TAQ总是实矩阵，反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数当然差得不是很远实反对称的正交相似标准型是diag{D1,D2,...,Dk,0,...,0}，每个Dk是2阶反对称阵如果用酉变换的话就可以对角化，因为iA是Hermite阵

5、什么样的矩阵必不可相似对角化？

不可相似对角化的矩阵通常具有以下特征:

1. 矩阵不是对称矩阵。相似对角化要求矩阵必须是实矩阵,而实矩阵的充要条件是矩阵必须是对称矩阵。所以非对称矩阵一定不可相似对角化。高校网

2. 矩阵的特征值不全是实数。相似对角化要求矩阵可以通过实数矩阵相似变换对角化,而实数矩阵的变换只能保持特征值的实部,无法消除虚部。所以非全部特征值都是实数的矩阵不可相似对角化。

3. 矩阵的特征向量不是线性无关的。在相似变换下,矩阵的特征向量也会发生变化,如果原矩阵的特征向量之间线性相关,那么经过变换后新矩阵的特征向量也依然线性相关,无法构成对角矩阵的特征向量,所以这种矩阵不可相似对角化。

4. 矩阵的秩等于矩阵阶数m,但特征值的个数小于m。相似对角化要求特征值出现的个数等于矩阵的阶数,否则无法通过线性变换得到对角矩阵。所以特征值个数小于矩阵阶数的矩阵不可相似对角化。

5. 矩阵至少有一个特征值的重数大于1。如果矩阵有重特征值,那么相似变换下得到的特征向量之间也会存在线性相关关系,无法构成对角矩阵的特征向量,所以这种矩阵也不可相似对角化。

总之,不可相似对角化的矩阵主要包括:非对称矩阵、特征值非实数矩阵、特征向量线性相关矩阵、特征值个数小于矩阵阶数矩阵、存在重特征值的矩阵。只要矩阵具备以上至少一个特征,就不可实施相似对角化。

一个矩阵必须满足两个条件才不能相似对角化：首先，矩阵必须不是方阵，即矩阵的行数和列数不相等；其次，矩阵的列空间和行空间必须不相等。如果一个矩阵不满足这两个条件之一或二者都满足，则可以相似对角化。

对于一个矩阵来说，当它的特征多项式不可分解时，它必不可相似对角化。这是因为能被相似对角化的矩阵必须满足特征多项式的根是唯一的，而不可分解的特征多项式的根无法分解成可相似对角化的矩阵。相似对角化在矩阵理论和线性代数中占有重要地位，可以对矩阵的性质和行为进行简单的描述和分析。因此，矩阵能否被相似对角化对于矩阵的研究和应用非常重要。

6、正规矩阵一定可以对角化吗？

这个肯定是可以的。对角化对所有矩阵都可以的。

7、实对称矩阵的特征值一定是互异的？

矩阵的每个特征值都是不同的，而实对称矩阵是一定可以对角化的，n阶实对称矩阵有n个特征值和特征向量，特征值可能有重根。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数。

3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4.若A具有k重特征值λ0　必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)必为n-k，其中E为单位矩阵。

5.实对称矩阵A一定可正交相似对角化。