正定矩阵怎么判断(正定矩阵怎么理解较好)

• 1. 怎么根据正定二次型求正定矩阵？
• 2. 二次型什么时候是正定的？
• 3. 正定矩阵A的逆与转置一样吗？
• 4. n阶正定矩阵形式？
• 5. 构造正定矩阵的方法？

1、怎么根据正定二次型求正定矩阵？

本科的线性代数课程，侧重于运算。重点是：行列式和矩阵的基础内容，稍微涉及了实数域的线性变换、特征值与二次型。

而机器学习算法中，会使用到更多的矩阵知识，而这些知识是本科线代课程没有讲到的，比如：最小二乘、向量与矩阵的求导、酉矩阵、QR分解、酉等价、SVD分解、 矩阵、Jordan标准型、Hermite矩阵、Kronecker积、矩阵范数、正定矩阵、Gersgorin圆盘、广义逆等等内容。

可以说，机器学习的很多理论基础，就是建立在矩阵上，所以必须了解矩阵分析的知识才能彻底理解机器学习。

比如，主成分分析(principal Component Analysis, PCA) 实际上是一个基的变换，使得变换后的数据有着最大的方差，其计算就是使用SVD分解来完成。高校网

关于矩阵分析的学习资料：

关于矩阵分析的学习资料：

如果你不懂线性代数，建议先学一遍线性代数的知识，推荐 Sheldon Axler 的《Linear Algebra Done Right》(中文名：《线性代数应该这样学》)，这本书假设你只有基础的数学知识，适合作为自学用书

Sheldon Axler

《Linear Algebra Done Right》

《Linear Algebra Done Right》英文版 下载地址：百度云下载 ， 备份下载

百度云下载

备份下载

如果对线性代数有一定了解，学习矩阵分析前，建议先学习一本只有43页的小书《The Matrix Cookbook 》，这本书是一本字典型的书籍，把矩阵分析相关的名词介绍了一遍，还对很多重要的概念进行了推导，可以带你快速入门矩阵分析

只有43页

《The Matrix Cookbook 》

《The Matrix Cookbook 》下载地址：百度云下载，备份下载

百度云下载

备份下载

深入学习矩阵分析，需要扎实地对每一个概念进行理解后，再去学后面的知识。推荐 Roger A. Horn的《矩阵分析》，这本书的第0章介绍了各种定义，之后的每一章从最基础的概念讲起，循序渐进，非常适合自学

《矩阵分析》中文版 下载地址：

百度云下载，备份下载

百度云下载

备份下载

2、二次型什么时候是正定的？

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵.

正定二次型的判别方法:

a）：二次型标准形中n个系数都大于零,则其为正定；

b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定；

c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.

注：设A为n阶方阵,则位于A的左上角的1阶,2阶,...,n阶子式,

即：称为A的各阶顺序主子式.

例1：判别二次型的正定性.

方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.

先写出二次型的矩阵:

由于:

可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.

由于此二次型的矩阵为:

因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＜0,则称此二次型为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵；如果都有f(x)≥0,则称此二次型为半正定二次型,并称其矩阵为半正定矩阵；如果都有f(x)≤0,则称此二次型为半负定二次型,并称其矩阵为半负定矩阵.

1、行列式法

对于给定的二次型



写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。



扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

3、正定矩阵A的逆与转置一样吗？

一样的。因为正定矩阵为对称矩阵，它的逆当然也是对称矩阵，故正定矩阵的逆与转置矩阵的逆是一样的。

4、n阶正定矩阵形式？

在线性代数里，正定矩阵 (英文:positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。广义定义设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zMz> 0，其中z表示z的转置，就称M正定矩阵。例如:B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)狭义定义一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz> 0。其中z表示z的转置。

在线性代数里，正定矩阵 (英文:positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式(复域中则对应埃尔米特正定双线性形式)。

广义定义

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zMz> 0，其中z表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如:B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz> 0。其中z表示z的转置。

5、构造正定矩阵的方法？

判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种行列式法对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。正惯性指数法对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

判定二次型(或对称矩阵)为正定的方法有如下两种

行列式法

对于给定的二次型

，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。