如何判断两个矩阵合同(怎么判定合同矩阵)

• 1. 两个同阶方阵合同一定等价吗？
• 2. 矩阵的合同是什么？
• 3. 一个矩阵的合同矩阵唯一吗？
• 4. 两个矩阵合同秩相等吗？
• 5. 为什么矩阵合同的充要条件是惯性指标相等？
• 6. 两个矩阵合同为什么规范性相同？
• 7. 合同矩阵一定是实对称的吗？
• 8. 两个矩阵合同的充要条件是什么？

1、两个同阶方阵合同一定等价吗？

是的。 同阶矩阵AB是合同矩阵的定义是： B =C'AC,其中C是可逆矩阵。 与可逆矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以A和B等秩，即他们等价。

2、矩阵的合同是什么？

是指两个矩阵A和B是合同的,当且仅当存在一个可逆矩阵C,使得C^TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。而且在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。所以合同 两个合同的矩阵其实是同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵。

合同即特征值正负0个数分别相同；

2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量

矩阵的合同是指两个矩阵在相似变换下具有相同的矩阵秩、行列式、特征值和特征向量。具体来说，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1，则称矩阵A和B合同。合同关系是一种等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。合同关系在矩阵理论、线性代数和数学物理等领域中有广泛的应用。

3、一个矩阵的合同矩阵唯一吗？

显然不唯一 如果C满足条件-C一定也满足条件

4、两个矩阵合同秩相等吗？

这个太宽泛了，我给你几个常用的吧，首先线性方程组有解要求系数矩阵和增光矩阵的秩想当。

其次，两矩阵相似或者等价，秩相等。 若A和对角矩阵相似，则和对角矩阵秩相等。 两个合同矩阵秩相等。 两个最高阶子式子不为零的阶数相等的矩阵秩相等。 等等。

两个同型系数矩阵所组成的同解齐次方程，他们两个系数矩阵秩相等

5、为什么矩阵合同的充要条件是惯性指标相等？

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。

首先合同是等价关系。可以传递。

每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵，因为正交矩阵的特点，那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵。

下证，对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。

先证明，对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵。

设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零），那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵，那么P^TAP也是个对角矩阵，对角线上除了第i个元素其他和A相同，且第i个元素为正负一，且与a同号。依次这么做，A对角线上所有元素可化为正负一以及0。

再证明，对角线上只有正负一以及0的对角矩阵，只要正负一的个数相同就合同。设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A，那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A，恰使得A的对角线上第i和j个元素对调，其他不变，故命题成立。

结合这两点，易得对角矩阵如果正负数元素个数相同，则一定合同。

那么现在，

两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数。

这个结论也是显然的了。

6、两个矩阵合同为什么规范性相同？

二次型只有平方项，则称二次型为标准型

如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型，因为标准型中，1，-1，0的个数是由正负惯性指数决定的，而合同的矩阵正负惯性指数相同，因此相互合同的矩阵乘以相同的向量组得到的二次型的规范型一定相同。

此外，求一个二次型的正负惯性指数，是通过求特征值得到，为正数的特征值的个数就是正惯性指数，即规范型中1的个数。

一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。高校网

求标准型的方法就是按照实对称矩阵对角化的步骤，把二次型的矩阵作为实对称矩阵，求处Q，然后做正交变换x=Qy（xy为列向量），得到

把向量组中的每个xi根据Q替换为yi，即可得到标准型

7、合同矩阵一定是实对称的吗？

一定是实对称矩阵的。

          两个矩阵A和B是合同的,当且仅当存在一个可逆矩阵 C,使得C^TAC=B,则称方阵A合同于矩阵B。一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件。

8、两个矩阵合同的充要条件是什么？

充要条件：相似矩阵与合同矩阵的秩都相同，二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

相似矩阵与合同矩阵的秩都相同，设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)= X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵。一种实对称矩阵。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。