怎么求二次型矩阵

• 1. 二次型的秩怎么用？
• 2. 二次型的解向量怎么求？
• 3. 二阶矩阵的导数公式？
• 4. 二次型什么时候是正定的？
• 5. 线性代数，二次型结果怎么算的？
• 6. 二阶矩阵的导数公式？
• 7. 二次型一定是对称矩阵吗？

1、二次型的秩怎么用？

同济版的定义为A的秩。书中还有一句话，二次型的标准型所含项数是确定的，等于二次型的秩。给你简单解释一下： 1，因为（实）二次型的矩阵是实对称矩阵，所以二次型的矩阵总可以（相似）对角化。（书中没有证明） 2，可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数。（这个你可以证明） 3，在线性变换X=PY时P矩阵要求可逆（也就是经过变化以后变量的个数不能减少），所以A和P^ 对角阵P秩相同。 注意1和3不一样，相似是左右乘一个可逆矩阵和他的逆。合同是乘左右乘一个可逆矩阵和他的转置。只不过正交阵转置和逆相同，不要混了。

2、二次型的解向量怎么求？

解向量是线性方程组的一个解。因为一组解在空间几何里可以表示为一个向量，所以叫做解向量。解向量在矩阵和线性方程组中是常用概念。如果n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r

数学中，二次型是一些变量上的二次齐次多项式。例如是关于变量x和y的二次型。 二次型在许多数学分支，包括数论、线性代数、群论(正交群)、微分几何(黎曼测度)、微分拓扑(intersection forms of four-manifolds)和李代数(基灵型)中，占有核心地位

3、二阶矩阵的导数公式？

简单说,求导之后再求一次导就是2阶导数了.假如y=f(x),则一阶导数y’=dy/dx=df(x)/dx二阶导数y“=dy‘/dx=[d(dy/dx)]/dx=d²y/dx²=d²f(x)/dx²这里不要被分子的x²迷惑,它表示要对x求2次导

4、二次型什么时候是正定的？

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵A称为正定矩阵.

正定二次型的判别方法:

a）：二次型标准形中n个系数都大于零,则其为正定；

b）：二次型的对称矩阵A的n个特征值大于零,则其为正定；

c）：对称矩阵A的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定.

注：设A为n阶方阵,则位于A的左上角的1阶,2阶,...,n阶子式,

即：称为A的各阶顺序主子式.

例1：判别二次型的正定性.

方法一：利用二次型的对称矩阵的特征值来判断.

先写出二次型的矩阵:

由于:

可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.

由于此二次型的矩阵为:

因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＜0,则称此二次型为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵；如果都有f(x)≥0,则称此二次型为半正定二次型,并称其矩阵为半正定矩阵；如果都有f(x)≤0,则称此二次型为半负定二次型,并称其矩阵为半负定矩阵.

1、行列式法

对于给定的二次型



写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。



扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。高校网

5、线性代数，二次型结果怎么算的？

对于二次型的计算，实际上并不是复杂的过程，就是将平方项写在正对角线上，而交叉相乘的项对半分开后分写在两侧这里的平方项均为0，故对角线为0而16x1x2，2x1x3，-2x2x3则分为两个8，两个1，以及两个 -1，写在对角线的两侧，所以得到矩阵表达式为0 8 18 0 -11 -1 0再添上(x1,x2,x3)即可

6、二阶矩阵的导数公式？

简单说,求导之后再求一次导就是2阶导数了.假如y=f(x),则一阶导数y’=dy/dx=df(x)/dx二阶导数y“=dy‘/dx=[d(dy/dx)]/dx=d²y/dx²=d²f(x)/dx²这里不要被分子的x²迷惑,它表示要对x求2次导

7、二次型一定是对称矩阵吗？

如果A是一个未必对称的方阵，令B=(A+A^T)/2，那么B对称，并且二次型x^TAx=x^TBx，也就是说即使A不对称，一定存在一个等效的对称矩阵来表示这个二次型，所以为了研究方便就选择（或者理解成规定）用对称阵来表示二次型。

二次型的矩阵一定为实对称矩阵。

1、二次型的矩阵一定可以用实对称矩阵来表示，因为x'Ax=x'[(A+A')/2]x，(A+A')/2肯定是对称的。实对称矩阵具有良好的性质，所以都用对称矩阵来研究二次型。

2、当二次型的系数在实数域上时，对应的二次型矩阵是实对称矩阵，实对称矩阵都可以通过可逆线性变换化为标准型，主要的方法有配方法和初等变换法