反函数的导数等于原函数导数的倒数(函数单侧导数怎么算)

• 1. arcsinx的导数为什么不是1/cosx？
• 2. 函数在某点导数不存在？
• 3. 互为反函数导数有什么特征？
• 4. 为什么函数与反函数导数互为倒数几何来说？
• 5. 反导数的求法？
• 6. 可导性怎么判断？

1、arcsinx的导数为什么不是1/cosx？

反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

(这句话是对的)

但你的解题有点问题:

y=arcsinx的反函数是:

x=siny

为了表述上的习惯性,我们一般说

他的反函数是:

y=sinx

但是在求导数的时候就不能这样了

应该是这样

y=arcsinx的导数

=1/(siny)'

=1/cosy

=1/根号(1-sin^2y)

=1/根号(1-x^2)

2、函数在某点导数不存在？

先说导数和切线之间的关系，函数在某点可导可以推出函数在该点有切线，但是反过来推不成立

先说导数和切线之间的关系

那么在什么情况下函数在一点没有导数？

在什么情况下函数在一点没有导数？

根据导数的定义可以简单的说，

函数可导，左右极限（切线斜率）相同，有唯一切线。

函数可导

不可导，左右极限（切线斜率）存在但不相同

不可导

不存在的情况大致分为以下几点：

1.角点，角点处单侧导数不相等

1.角点

2.尖点，PQ的斜率从一边趋于 ，而从另一边趋于-

2.尖点，PQ的斜率从一边趋于

3.垂直切线，PQ的斜率从两边都趋于

3.垂直切线，

4.有间断点

4.有间断点

3、互为反函数导数有什么特征？

互为反函数的两个函数的导数没有关系。

1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy),

即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。

2）例子： y=2x，反函数是x=y/2.

由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。

已知函数y=f(x)，从表达式y=f(x)出发，经过代数恒等变形，将变量x表示为y的表达式，若这个对应规则表示变量x为y的函数，则称为函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)。这样得到的两个函数叫做互反函数。

由于习惯用变量记号x表示自变量，用变量记号y表示函数，因此在反函数x=f-1(y)的表达式中，再将变量记号x改写为y，变量记号y改写为x，得到函数表达式y=f-1(x)，于是也称函数y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数。

利用互反函数的这一对称性质来看幂函数，将见：

(1) 每一个幂函数的反函数仍是一个幂函数，因此，幂函数组成一个自反的函数族。这就是说，

的反函数是

(且后式也可写作

)，而它们都是幂函数。

(2)指数是真分数的幂函数，它的反函数(也是幂函的指数就大于1(是原来那个真分数的倒数)。由于指数大于1的幂函数的描点制图较易进行，可以先将反函数图形作出，再利用原函数和反函数对直线

的对称，原函数作出。

互为反函数的两个函数的导函数没有互为反函数的关系。

但连续光滑可导的互为反函数的两个函数的导数的乘积是1。

证明：设y=f(x)①,其反函数为y=f^-1(x)②

分别求导得：

①式有y'=f'(x)x'；

②式有y'=1/f'(x)x'

两式相乘,为1。没有关系的。 不过 ((f^-1)(x))'=1/(f(y))'。 注意右边自变量是y

4、为什么函数与反函数导数互为倒数几何来说？

1）定义：y=f(x) ，其反函数是由前式直接求出的x=g(y), 有dy/dx=1/(dx/dy),

即f(x)对x求导数=（g(y)对y的导数）的倒数。

2）例子： y=2x，反函数是x=y/2.

由y=2x得dy/dx=2, 由x=y/2得 dx/dy=1/2; 显然二者互为倒数。

5、反导数的求法？

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。



①，反函数求导：

1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。

2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。

反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。

4、求导是数学计算中的一个计算方法。

5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。高校网

可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

6、除了在某几个原函数的导数为0的点以外，利用原函数的可导性就可以说明反函数可导了。

②，反函数与原函数的关系

1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。

4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。

5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。

反导数是错误的，应该是反函数。求反函数的方法：设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。

由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数。arccos计算公式：cos(arcsinx)=√（1-x^2）。

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)，设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u，有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

6、可导性怎么判断？

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

1、设f(x)在x0及其附近有定义，则当a趋向于0时，若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在，则称f(x)在x0处可导。

2、若对于区间(a，b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

1.

所有初等函数在定义域的开区间内可导。

2.

所有函数连续不一定可导,在不连续的地方一定不可导。 在大学,再加上用单侧导数判断可导性:

3.

函数在某点的左、右导数存在且相等,则函数在该点可导。

4.

函数在开区间的每一点可导,则函数在开区间可导。