分段函数在分段点处的可导性(分段函数的可导性怎么证明)

• 1. 导函数绝对值什么意思？
• 2. y=|x|可导吗？
• 3. 什么叫可导？导函数？
• 4. 高等函数知识点梳理？
• 5. 判断二阶导数是否存在？

1、导函数绝对值什么意思？

令f(x)=|x|.

x<0时，f'(x)=-1；x>0时，f'(x)=1；x=0时，函数在改点不可导。也就是说这个函数的导函数是个分段函数，且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。

绝对值函数并不属于我们熟悉的基本函数，所以第一步是要把绝对值函数化为我们熟悉的函数。x>=0时，f(x)=x；x<0时，f(x)=-x.

然后是求导的第一步，也是初学者最容易忽略的一步，判断函数的可导性，既连续性。判断的公式有点复杂，简而言之就是函数在某点上的左导数和右导数相等。x≠0时显然函数是可导的，需要判断的只有x=0这个点。求出函数的左导数为-1右导数为1，不相等，所以函数在该点不可导。

最后，分别对各段求导即可。

导函数绝对值的大小，表示原函数递增或衰减速度的快慢，导数绝对值越大，则原函数增长或衰减的速度越快，其图像越陡峭，导数绝对值越小，原函数变化越慢，其图像越平缓。

2、y=|x|可导吗？

|y=|x|实际上实际上是分段函数，y=x(x>=0)y=-x(x=<0)。

分别求导就会发现，y=x导数为y=1，y=-x导数为y=-1，也就是说这两段导数在x=0处不连续，则该函数在x=0处不可导。函数图像是“光滑”的，不存在“尖点”。y=|x|，可以画出它的图像，是一个V形，在x＝0处正好是V字的“尖点”，所以不可导。

可以通过几何定义来理解：

可导，在几何上看，指的是，函数图像是“光滑”的，不存在“尖点”。

y=|x|，你可以画出它的图像，是一个V形，在x＝0处正好是V字的“尖点”，所以不可导

称某函数可导是指在其定义域内每一点处都可导，因为y=|x|在x=0时不可导，所以函数y=|x|不可导。

3、什么叫可导？导函数？

大学数学不是只有搞题海战术、背套路；而是认真读课本，读懂定义，学会基本逻辑推理，遇到题目自然地去思考怎么求解。下面演示怎么用定义+基本逻辑推理解题：

定义+基本逻辑推理

函数可导的定义：函数在每一点处都可导。

函数可导

函数在一点处可导的定义：若函数 在 点处的变化率的极限

一点处可导

存在，则称 在 点可导，其导数即为该极限值，即

做题时，对于具体函数，当然一般不是每一点都拿来验证一下可导性。因为有课本上的一些结论可以用，比如，课本上用定义求了基本初等函数的导数（基本初等函数在其定义域内基本都是可导的），又给出了求导运算法则（基本初等函数经过四则运算、复合得到的初等函数，在其定义域内也基本都是可导的）。

基本

基本

注：基本的意思是，在定义域内绝大多数正常点处都是可导的，不可导点往往是比较特殊的点，比如，分段函数的分段点、按求导运算算完的一阶导函数无定义的点。

注：

以绝对值函数为例，

改写一下：

可见， 在 上可导的（幂函数、定义域内），所以，只考虑分段点 处的可导性就行了，根据定义，先考察极限

该极限是否存在呢？极限存在的一个充要条件是，左右极限都存在且相等，考察一下：

左右极限不相等，故该极限不存在，从而 在 点不可导。

综上，

另一种思路，这样改写函数： , 先按求导法则求导看看：

分母出现 , 所以 表达式无意义，故是一阶导函数不存在的点，即 在 点不可导；

若 , 化简上式得 ;

若 , 化简上式得

结果是一样的。

说明：以上两种变形思路，为什么这么变？是往能用上课本中定义或结论的方向变形，这里的思考方向是：去掉绝对值（方法一）、变成初等函数（方法二）。

说明

补充说明：评论中有人对我的第二种解法有疑义，补充一点，第二种解法适合能写成一个表达式的初等函数，考察其定义域内，的可导情况。函数有定义的点，按求导法则算完，可能会变成不可导点。再比如， .

补充说明

能写成一个表达式的初等函数，考察其定义域内，的可导情况高校网

4、高等函数知识点梳理？

以下六个方面的知识点必须掌握。

一，函数与极限

1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

二，导数与微分

1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

三，微分中值定理与导数的应用

1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

四，不定积分

1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分

3.掌握不定积分的分步积分法。

4.掌握不定积分的换元积分法。

五，定积分的应用

1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。

2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。

六，微分方程

1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程.

3.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程。

4.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程。

5.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程.

6.会用降阶法解下列微分方程

y''=f(x，y').

7.会解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

8.会解欧拉方程。

5、判断二阶导数是否存在？

首先当然要有一阶导数

然后再看一阶导函数的连续

以及可导性

如果是分段函数

就在某点分别求左右导数

二者相等就有二阶导数

f(0)的2阶导数存在,为什么需要f(x)的一阶导数在x=O连续?

关键：导函数f'(x)也是函数.如三次函数y=x^3-x+2的导数是二次函数y'=3x^2-1,它也有定义域（原函数的定义域的子集）,值域,单调性、连续性、可导性等等.

函数f(x)在x＝x0处可导的必要是函数f(x)在x=x0处连续.

同理,函数f'(x)在x＝x0处可导的必要是函数f'(x)在x=x0处连续.