如何证明函数在区间内可导(怎么证函数在开区间教连续)

• 1. 初等函数在定义区间内必可导对吗？
• 2. 分段函数怎么判断函数不可导？
• 3. 怎样证明函数连续？
• 4. 函数在区间连续必然有界吗？
• 5. 一元函数闭区间一致连续性证明？
• 6. 一次函数可导的充要条件？

1、初等函数在定义区间内必可导对吗？

当然不一定。例如函数f（x）=x的（1/3）次方，这个函数的定义域是R，但是在x=0点处的导数是无穷大，不存在。所以在定义域内的x=0点处不可导。此外g（x）=|x|=√（x²）也是初等函数，这个函数的定义域是R，在x=0点处也不可导。

当然不一定。

2、分段函数怎么判断函数不可导？

方法一:1,先看是否连续,连续则可能可导,不连续则一定不可导2,选证明在每一段的开区间里是可导的(一般都是初等函数,初等函数在定义域内很容易看出是否可导)

,3再用定义证明在每一段的临界处的左导数等于右导数.方法二:导数极限定理(方便).

3、怎样证明函数连续？

1、证明一个分段函数是连续函数。

       首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。

       分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。

2、多元函数在某点处的连续性证明

      如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)

      这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的.而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。

扩展资料

        所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

      绝对值函数也是连续的。

      定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

      非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

       另一个不连续函数的例子为符号函数。

答案是，

判断函数连续的方法：

求出某点左右极限，如果左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则函数在此点连续，若任意点在范围内都满足这个条件，则函数是连续的。

函数y=f（x），当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的，对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，

用极限给出严格描述：设函数y=f（x）在x0点附近有定义，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续，则说f在I上连续，此时，它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。

证明函数连续:

首先，函数在该点要有定义；

然后，函数在该点要存在极限(即左极限要等于右极限)；

最后，函数在该点的极限值还必须等于函数在该点的函数值。就是要这三点同时满足，就可以说函数在该点连续。

4、函数在区间连续必然有界吗？

根据连续函数的性质，闭区间上的连续函数必存在最大值M和最小值n,我们取这两者绝对值较大者为K，显然k是这函数的一个界。即闭区间内连续必有界。

根据连续函数的性质，闭区间上的连续函数必存在最大值M和最小值n,我们取这两者绝对值较大者为K，显然k是这函数的一个界。即闭区间内连续必有界。

5、一元函数闭区间一致连续性证明？

定理：设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续。

证明：用反证法。

假设f(x)不一致连续，那么∃ϵ,∀n∈N+假设f(x)不一致连续，那么∃ϵ,∀n∈N+

∃两个点Sn,tn∈[a,b],有|Sn−tn|<1n,∃两个点Sn,tn∈[a,b],有|Sn−tn|<1n,

且|f(Sn)−f(tn)|>ϵ(1)且|f(Sn)−f(tn)|>ϵ(1)

∵{Sn∈[a,b]}∵{Sn∈[a,b]}

∴由列紧性定理，任何有界数列，存在一个收敛子列Skn∴由列紧性定理，任何有界数列，存在一个收敛子列Skn

有Skn−>S∗∈[a,b]有Skn−>S∗∈[a,b]

可得：|tkn−s∗|⩽|tkn−Skn|+|Skn−S∗|可得：|tkn−s∗|⩽|tkn−Skn|+|Skn−S∗|

<1kn+|Skn−S∗|<1n+|Skn−S∗|<1kn+|Skn−S∗|<1n+|Skn−S∗|

由数列极限的夹逼定理，得到由数列极限的夹逼定理，得到

0⩽limn→∞|tkn−s∗|⩽limn→∞1n+|Skn−S∗|=00⩽limn→∞|tkn−s∗|⩽limn→∞1n+|Skn−S∗|=0

可知limn→∞tkn=0可知limn→∞tkn=0

即：tkn跟Skn有相同极限S∗即：tkn跟Skn有相同极限S∗

由(1)式，可知，∀n∈N+,有|f(Skn)−f(tkn)|⩾ϵ(2)由(1)式，可知，∀n∈N+,有|f(Skn)−f(tkn)|⩾ϵ(2)

由函数的连续性，可得：limn→∞f(Skn)=limn→∞f(S∗)由函数的连续性，可得：limn→∞f(Skn)=limn→∞f(S∗)

即Skn趋于S∗时，f(Skn)趋于f(S∗),这是根据函数连续性即Skn趋于S∗时，f(Skn)趋于f(S∗),这是根据函数连续性

同理，limn→∞f(tkn)=limn→∞f(S∗)同理，limn→∞f(tkn)=limn→∞f(S∗)

对(2)式两侧取极限，左侧为limn→∞|f(Skn)−f(tkn)|=|limn→∞f(Skn)−limn→∞f(tkn)|−−−−−极限符号和绝对值的互换前提是各项极限存在，可以自己手工证明，对(2)式两侧取极限，左侧为limn→∞|f(Skn)−f(tkn)|=|limn→∞f(Skn)−limn→∞f(tkn)|−−−−−极限符号和绝对值的互换前提是各项极限存在，可以自己手工证明，

分大于等于零和小于零的情况，极限和绝对值顺序交换的结果是一致的分大于等于零和小于零的情况，极限和绝对值顺序交换的结果是一致的

=|limn→∞f(S∗)−limn→∞f(S∗)|=0=|limn→∞f(S∗)−limn→∞f(S∗)|=0

右侧为>ϵ右侧为>ϵ,矛盾

证毕

说明：如果题设条件是开区间(a,b)，则Skn与tkn的极限S∗不一定在此区间内，说明：如果题设条件是开区间(a,b)，则Skn与tkn的极限S∗不一定在此区间内，高校网

如果在区间以外，则该极限点，没有函数定义f(S∗),例如f(x)=1x,如果极限点是0，f(x)在x点没有定义如果在区间以外，则该极限点，没有函数定义f(S∗),例如f(x)=1x,如果极限点是0，f(x)在x点没有定义

6、一次函数可导的充要条件？

即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

1、设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

2、若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

扩展资料

函数可导的知识点：

1、所有初等函数在定义域的开区间内可导。

2、所有函数连续不一定可导，在不连续的地方一定不可导。

3、函数在某点的左、右导数存在且相等，则函数在该点可导。

4、函数在开区间的每一点可导，则函数在开区间可导。

5、设f(x)=|x-a|g(x)，g(x)在x=a处连续。

(1)若g(a)=0，则f(x)在x=a处可导，且导数等于0；

(2) 若g(a)≠0，则f(x)在x=a处不可导。

6、可导函数的奇函数的导函数是偶函数，可导函数的偶函数的导函数是奇函数。