可导必可微,可微必可导(可微怎么推出可导)

• 1. 一元定积分可积有界函数？
• 2. 0可微可积可导吗？
• 3. 可导与可微等价吗？有什么区别？
• 4. 可导是可微的充分条件吗？
• 5. 有界是可导的什么条件？
• 6. 函数可微，那么偏导数一定存在，且连续吗？
• 7. 可微可导的区别与联系？

1、一元定积分可积有界函数？

在一元微分学里面，可微与可导是等价的处于同样的地位，但是在多元微分学里面，可微强于可导（可偏导）；同样在一元微分学里面，可微（可导）均可推出连续，但是在多元微分学里面，可微可推出连续。

可偏导并不能保证连续，需要偏导有界才能保证连续性。剩下的有界与可积是相互联系的，Riemann可积函数类的第一个性质就是有界，当然如果对广义积分来说有界就不是必要的了。而连续函数必Riemann可积，因此连续强于可积性。

总的来说，一元微积分里面，可积<连续<可微=可导，而可积必有界，对连续函数而言，需要在一定条件下才是有界的（如闭区间上的连续）。多元微积分里面，积分有多种，剩下的连续、可微、可导满足：可微必连续、可导；连续可偏导必可微；偏导有界必连续。



扩展资料：

定积分和不定积分：积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

2、0可微可积可导吗？

不可。可微可积可导的数要大于零或小于零。

3、可导与可微等价吗？有什么区别？

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。 多元函数可微必可导，而反之不成立。即：在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。^_^希望你明白

4、可导是可微的充分条件吗？

是的。

可导和可微的关系：可微=>可导=>连续=>可积，在一元函数中，可导与可微等价。

可微、可导的关系

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；

可微=>可导=>连续=>可积

可微条件必要条件

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

可导条件

充分必要条件：函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。

函数可导与连续的关系：高校网

定理：若函数f(x)在x0处可导，则必在点x0处连续。上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

5、有界是可导的什么条件？

可导一定有界，有界不一定可导

总的来说，一元微积分里面，可积<连续<可微=可导，而可积必有界，对连续函数而言，需要在一定条件下才是有界的(如闭区间上的连续)。多元微积分里面，积分有多种，剩下的连续、可微、可导满足：可微必连续、可导;连续可偏导必可微;偏导有界必连续。

收敛数列是有极限的数列，而发散是没有极限的，可导必连续，但连续不一定可导。有界就是该数列有一个极限的数值，而无界就正好相反。

6、函数可微，那么偏导数一定存在，且连续吗？

函数可微则这个函数一定连续，但连续不一定可微．多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

△z＝f（x0＋△x，y＋△y）－f（x0，y0）＝A△x＋B△y＋o（ρ），其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔（△x）＾2＋（△y）＾2〕＾0．5．o（ρ）是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o（ρ）／ρ趋于零．则称f在P0点可微。

可微的充要条件是曲面z＝f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0（x0，y0）可微，这个切面的方程应为Z－z＝A（X－x0）＋B（Y－y0）。

可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说，若X是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′（X）有定义，则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在（X，ƒ（X））点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

对于一元函数函数连续 不一定 可导 如y=|x|可导 一定 连续 即连续是可导的必要不充分条件函数可导必然可微可微必可导 即可导是可微的必要充分条件对于多元函数偏函数存在不能保证该函数连续 如 xy/(x^2+y^2) x^2+y^2不等于0（不同于一元函数） z= f(x,y)=0 x^2+y^2=0函数连续当然不能推出偏导数存在 由一元函数就知道

7、可微可导的区别与联系？

1 可微和可导是微积分中重要的概念，它们都是在一个函数上求导数的性质。2 可微指的是函数在某个点上有导数，而且这个导数存在唯一的极限。可导则是指函数在某个点上有导数，但这个导数不一定存在极限。3 可微和可导的联系在于，如果一个函数在某个点上可导，则它一定是在这个点上可微的。可微和可导的区别在于，可微的函数在某个点上不仅有导数，而且这个导数有唯一的极限存在；而可导的函数只需要在这个点上有导数即可，不需要考虑这个导数的极限是否存在。4 总的来说，可微和可导在微积分中都是非常重要的概念，它们的区别和联系也需要我们在学习微积分过程中有所了解和掌握。

在一元函数中，可微和可导是等价，二者可以互相推导。在多元函数中，如果可微，那么该函数也一定可导。但如果可导，该函数不一定可微。

可微和可导并无本质差别，可导就是可以求导数df（x）/dX=p（x）将dx移到右侧有df（X）=P（x）dx，便就是可微了。函数在某区间可导，则函数在这个区间必需是连续的，但在某点连续，在这是不一定可导！

可微和可导都是描述函数变化的性质。可微通常用来描述函数在某一点处的变化，一个函数在某一点可微，意味着函数在该点附近连续且趋近于线性，即函数的斜率大致不变。可导则通常用来描述函数在整个定义域上的变化，如果一个函数在某一点可导，则意味着在该点存在切线，切线在该点的斜率与函数在该点的斜率相等。换言之，可微是可导的一种特殊情况，可导比可微更严格，函数可导必然可微，但函数可微不一定可导。

拿一条曲线来做比喻—— 可微是指这条曲线可以被分割为无数的小片段，这些小片段互相连接没有断开。 可导是指这条曲线除了可微（没有断开）之外，它还是光滑的，也就是说没有生硬的拐点。 换句话说，可微不一定可导，可导一定可微。

可积是指可以把无数个小的片段连接在一起成为一条连着的曲线，而且这条曲线的长度有一个极限值。 很显然，可积和可微是互为逆操作。