向量组线性无关的判定方法(怎么判断向量组是否线性相关)

• 1. 线性相关与线性无关的判定方法？
• 2. 如何判断向量的线性相关和线性无关性？
• 3. 两个列向量线性相关怎么判断？
• 4. 两个线性无关的特征向量怎么算？
• 5. 任意一个部分向量组线性无关是线性无关？

1、线性相关与线性无关的判定方法？

1、定义法

使向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的值。当线性组合为零，仅当系数为零时，向量组是线性的；如果有不完全为零的系数，使线性组合为零，则向量组是线性的。

2、向量组的相关性质

（1）当向量组中的向量数等于向量维数时，向量组的行列式不为零的充分必要条件是向量组线性无关；

(2)当向量组含有的向量超过向量维数时，向量组具有线性相关性；

（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；

（4）通过向量组的齐次线性方程组解来判断向量组的线性相关性；线性方程组与非零解向量组有线性相关性，否则线性无关。

（5）通过向量组的秩序研究向量组的相关性。如果向量组的秩等于向量数，则向量组是线性的；如果向量组的秩小于向量数，则向量组是线性的。

线性重要性

1、向量组B=(β1，β2，……，βm)能由向量组A=(α1，α2，……，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，……，αm)秩序等于矩阵(α1，α2，……，αm，B)的秩。

2.如果向量组B可以由向量组A线性表示，则向量组B的秩序不大于向量组A的秩序。反之亦然。

3、零向量可由任何一组向量线性表示。高校网

4、向量组α1，α2，……，αm每个向量都可以由向量组本身线性表示。

5、设α1，α2，……，αm线性无关，而且α1，α2，……，αm，?线性相关，则β可由α1，α2，……，αm线性表示，表示是唯一的。

第一种

从定义出发寻找一组非零常数，第二种求常数项的秩或者行列式，第三种寻找向量的个数是多少，如果多数向量可以由少数向量线性表示那么多数向量一定是线性相关。

简单的线性有关性和无关性的判断：

1、整体线性无关，局部必线性无关。

2、向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。

3、若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。

4、若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。

向量组构成矩阵后计算他的秩，秩等于向量组的个数，线性无关；秩小于向量组的个数则线性相关

2、如何判断向量的线性相关和线性无关性？

要判断向量的线性相关和线性无关性，需要找出它们之间的关系。具体而言，如果有一组向量 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$，它们满足以下条件，则它们是线性相关的：1. 存在一个或多个不全为0的实数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得 $k_1 \boldsymbol{v}_1 + k_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + k_n \boldsymbol{v}_n = \boldsymbol{0}$。

2. 如果向量 $\boldsymbol{v}_i$ 可以表示成其他向量的线性组合，则它可以被从向量集合中移除，而向量组不受影响。

如果上述条件不成立，则这组向量是线性无关的。

举个例子，如果有两个向量 $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，它们是否线性相关呢？我们可以写出它们的线性组合：

$a \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

解得 $a = -b$，于是它们是线性相关的。如果我们再加一个向量 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，则可以发现这三个向量是线性无关的，因为无法找到任何一组不为0的系数，使得它们的线性组合等于$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

3、两个列向量线性相关怎么判断？

定义法令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

线性相关定理

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1，0，0)，(0，1，0)和(0，0，1)线性无关；但(2，−1，1)，(1，0，1)和(3，−1，2)线性相关，因为第三个是前两个的和。



线性无关和线性相关

1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。

4、两个线性无关的特征向量怎么算？

判断特征向量线性无关的方法：

1、显式向量组

将向量按列向量构造矩阵A。

对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。

梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。

否则向量组线性无关。

2、隐式向量组

一般是设向量组的一个线性组合等于0。

若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。

否则向量组线性相关。

例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。

5、任意一个部分向量组线性无关是线性无关？

反证法：若某一个部分向量组线性相关，则原向量组线性相关 设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分向量组线性相关比如x1,x2,x3, 就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 时，a1,a2,a3,不全为0，则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0 令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立，就是b1到bn不全为0 所以原向量组线性相关