常用的等价无穷小替换(差函数常用等价无穷小怎么证明)

• 1. cos x等价无穷小替换公式？
• 2. 高等数学等价无穷小的几个常用公式？
• 3. 什么时候能用等价无穷小的替换？
• 4. 三次根号下（1+2x）减1的等价无穷小怎么算？
• 5. 两个无穷小的和差积商均是无穷小？
• 6. 函数的敛散性的判断方法及例题？

1、cos x等价无穷小替换公式？

替换公式：

sinx-x、tanx-x、arcsinx-x、arctanx-x，1-cosx。等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

则称这两个无穷小是等价的。高校网

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

为：cos x ≈ 1 - x^2/2，其中x是趋近于0的实数。这个公式的原因是cos函数在0处的导数等于0，但是其二阶导数为负，所以在0点附近进行泰勒展开后，只需要保留到二次项就能够较好地近似cos函数的取值。这个公式在数学分析、物理学等领域中有广泛的应用。另外，需要注意的是，这个公式只在趋近于0的情况下才适用，如果x值较大，近似值将产生比较大的误差。

是：cos x = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...。这个公式的原理是利用求极限的方法近似表示函数值。因为当x趋近于0时，整个级数的后面几个项会变得非常小，可以忽略不计，所以我们可以只取前面的几项来近似表示cos x的值。这个公式的应用非常广泛，可以用来简化很多复杂的数学问题。

2、高等数学等价无穷小的几个常用公式？

当x→0时， 　　sinx~x 　　tanx~x 　　arcsinx~x 　　 arctanx~x 　　 1-cosx~(1/2)*（x^2）~ secx-1 　（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna) 　　 （e^x）-1~x 　 　ln(1+x)~x 　　 (1+Bx)^a-1~aBx 　　 [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 　　 loga(1+x)~x/lna 　　 （1+x)^a-1~ax(a≠0) 　　 值得注意的是，等价无穷小一般只能在乘除中替换， 在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不能单独代换或分别代换）

3、什么时候能用等价无穷小的替换？

等价无穷小的替换是解析数学中的一种常见的运算方法，其使用条件通常有以下几种：

当函数的极限存在时，可以使用等价无穷小进行替换；

当函数在某一点处可导且极限为0时，可以使用函数的一阶无穷小进行替换；

当函数在某一点处二阶可导且极限为0时，可以使用函数的二阶无穷小进行替换。

需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，要根据实际情况选择合适的无穷小量，以保证运算的正确性。此外，还需要注意等价无穷小的使用范围和条件，避免出现运算错误。

1 当函数在某个点处的极限存在且为0时，可以用等价无穷小替换。2 这是因为等价无穷小与原函数在该点的极限值具有相同的阶，因此在计算极限时可以将原函数替换为等价无穷小，简化计算。3 但需要注意的是，在使用等价无穷小替换时，必须满足等价无穷小与原函数在该点的极限值具有相同的符号，否则替换后得到的极限值可能会不同。

求极限时，使用等价无穷小的条件：被代换的量，在取极限的时候极限值为0。作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

4、三次根号下（1+2x）减1的等价无穷小怎么算？

显然由立方差公式得到 2x= (1+2x) -1 =[(1+2x)^1/3 -1] *[(1+2x)^2/3 +(1+2x)^1/3+1] 而x趋于0时，(1+2x)^2/3 +(1+2x)^1/3+1趋于3 那么(1+2x)^1/3 -1等价于2x/3

5、两个无穷小的和差积商均是无穷小？

不是，取决于两个无穷小的阶数的大小，结果可能是无穷小、无穷大、任意常数，或者不存在，依次举例如下：



当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

扩展资料：

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

首先规定



都为



时的无穷小，



在某



的空心邻域恒不为0。

当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称



为当



时的无穷大。记作



。

同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、若函数



在某



的空心邻域内有界，则称g为当



时的有界量。

6、函数的敛散性的判断方法及例题？

判断函数和数列是否收敛或者发散

1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|

2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。

3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如1+1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如1/n*sin(1/n)用1/n^2来代替。

4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。

函数的敛散性可以通过求解函数的一阶导数来判断。如果一阶导数大于零，则函数是单调递增的，函数是敛的；如果一阶导数小于零，则函数是单调递减的，函数是散的。例如，函数y=x^2+3x-2的一阶导数为y'=2x+3，当x=0时，y'=3，大于零，因此函数y=x^2+3x-2是敛的。