幂级数的和函数6个基本公式(交错幂级数的和函数怎么求)

• 1. 怎么判断一个级数的敛散性？
• 2. 怎么用比较判别法求正项级数的敛散性？
• 3. 幂级数的和？
• 4. 为什么幂级数的和函数是？
• 5. 幂级数的和函数∑X的n次方等于多少？

1、怎么判断一个级数的敛散性？

判断级数敛散性的方法包括判定正项级数的敛散性、判定交错级数的敛散性、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域、求幂级数的和函数与数项级数的和以及将函数展开为傅里叶级数。

常用的判别法有比较原则、比式判别法、根式判别法、达朗贝尔判别法、柯西判别法、比较判别法、积分判别法、级数收敛的柯西准则、交错级数的莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法等。

在判断级数敛散性时，需要先判断一般项是否趋于零，然后根据级数的特点选择合适的判别法进行判断1。

2、怎么用比较判别法求正项级数的敛散性？

一、判定正项级数的敛散性；二、判定交错级数的敛散性；三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；四、求幂级数的和函数与数项级数的和；五、将函数展开为傅里叶级数。



一、判定正项级数的敛散性

1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；如果趋于零，则考虑其它方法。

2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数，

3.用比值判别法或根值判别法进行判别，

4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.

二、判定交错级数的敛散性

1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.

2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.

3.一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散.

4.有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.

三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.

2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数，再求收敛半径.

四、求幂级数的和函数与数项级数的和高校网

1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和.

2.求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.

五、将函数展开为傅里叶级数

将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。

具体做法如下：

假设有两个正项级数$\sum a_n$和$\sum b_n$，且$b_n$是已知的敛散性的，如$\sum b_n$收敛，则有如下结论：

1. 若$a_n \leq b_n$，则$\sum a_n$收敛；

2. 若$a_n \geq b_n$，则$\sum a_n$发散；

3. 若无法确定$a_n$与$b_n$的大小关系，则该方法不可用。

例如，对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$，可以考虑使用比较判别法进行判定。我们知道，$\frac{1}{n(n+1)}$可以表示为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，因此有：

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) = 1$$

因为常数级数$\sum_{n=1}^{\infty} 1$是发散的，根据比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$也发散。

因此得到正项级数的敛散性。

3、幂级数的和？

幂级数求和：先求出幂级数的收敛半径，收敛区间，如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，求其和。当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。

幂函数的性质：

一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递专增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

4、为什么幂级数的和函数是？

对于收敛域的每个点x，代进幂级数可得对应的数项级数，每个级数收敛于某个值（也就是一个x得出一个值），所以得到一个函数，这个就是和函数，所以它是求极限得出的，一般很难求。但等比数列形成的级数的和函数是很容易知道，一般做幂级数题都是通过积分或求导等手段与这种级数建立联系。

5、幂级数的和函数∑X的n次方等于多少？

当n从0开始时：∑x^n等于1/1-x。

当n从1开始时：∑x^n等于x/1-x。

幂级数的和函数f(x)=x/1+x^2/2+x^3/3+……+x^n/nf'(x)=1+x+x^2+……+x^(n-1)

求幂级数的和函数的方法,通常是: A、或者先定积分后求导,或先求导后定积分,或求导定积分多次联合并用; B、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。