拉格朗日微分中值定理(微分中值定理 辅助函数怎么构造)

• 1. 中值定理的三个公式？
• 2. 极限中值定理？
• 3. 罗尔定理总公式？
• 4. 三大微分定理？
• 5. 积分中值定理三种形式？

1、中值定理的三个公式？

1、拉格朗日中值定理

中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。

2、柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

3、积分中值定理

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为:若f(x)≥0，x∈[a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。

中值定理有三个公式，分别是：罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理。罗尔中值定理指出，如果一个函数在区间两端的函数值相等，那么在该区间内必定存在一点使得函数的导数为0。拉格朗日中值定理指出，在一个区间内，如果一个函数满足一定的条件，那么一定存在某个点，使得该函数在这个点处的导数等于该函数在这个区间的两个端点处的导数的平均值。柯西中值定理是与导数相关的中值定理，同时要求两个函数在该区间内导数都存在，并且其中一个函数的导数不为0，那么在该区间内必定存在一点，该点的函数导数与两个函数斜率的比值相等。

中值定理公式：f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

2、极限中值定理？

微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

3、罗尔定理总公式？

罗尔定理公式：d=fg*a。罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一

4、三大微分定理？

01罗尔定理

在学习罗尔定理之前，先引进一个极值的定义：设函数f（x）在 X的某邻域U（X,＄）内有定义，若对此邻域内的任何点x，都有f(x)≤f（X）或f（x）≥f（X）则称函数f（x）在X取得极大值或极小值f（X）,且称X是函数的极大值点或极小值点。

罗尔定理：若函数f满足如下条件：

（1）f在闭区间［a,b］上连续，

（2）f在开区间（a,b）内可导，

（3）f（a）＝f（b）高校网

则在（a,b）上至少存在一点＄，使得f′（＄）＝0

例题：例1、设f（x）在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f（1）＝0，证明至少存在一点＆∈（0，1），使f（&）＋&f′（&）＝0.

证：设辅助函数F(x)＝xf（x）,显然

F（x）在［0，1］上满足罗尔定理条件，

故至少存在一点&∈（0，1），使F′（＆）＝f（＆）＋&f（&）＝0

02拉格朗日中值定理

在学习拉格朗日中值定理之前，先承上启下引进个费马引理：设函数f(x)在点X的某个邻域(X－＆,X＋&)内有定义，并且在X点可导，且f（x）≤（或≥）f(X)，则f′(X)＝0.

拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：

（1）f在闭区间［a,b］上连续，

（2）f在开区间（a,b）内可导，

则在（a b）上至少存在一点&，使得f′（&）＝f（b）－f（a）╱b－a.

例题：证明arctanb＋ arctana≤b－a,其中a＜b.

证：设f（x）＝arctanx,则

f（b）－f（a）＝f′（&）（b－a）＝1／1+& （b－a）,a＜&＜b

从而得arctanb － arctana ＝ b－a

03柯西中值定理

现给出一个形式更一般的微分中值定理，柯西中值定理：设函数f和g满足，

（1）在［a，b］上都连续，

（2）在（a，b）上都可导，

（3）f＇（x）和g＇（x丿不同时为零，

（4）g（a）≠g（b）

则存在&∈（a，b），使得f＇（&）／g＇（&）＝f（b）－f（a）／g（b）一g（a）.

5、积分中值定理三种形式？

微分中值定理：

　　罗尔定理([a,b]连续，(a,b)可导,f(a)=f(b) ,则f(x)在(a,b)中有一点的导数为0)

　　拉格朗日中值定理([a,b]连续，(a,b)可导,则f(x)在(a,b)中有一点的导数等于点A(a,f(a))和点B(b,f(b))的连线的斜率)

　　柯西中值定理 （把拉格朗日中值定理用参数方程的形式表达）

积分中值定理：

　　第一积分中值定理：



 　　按几何意义来考虑：f(x)的积分为曲线与x=a,x=b,x轴围城的图形的面积。而等式右侧显然也是另外一种表达方式。

　　第二积分中值定理：

　　

　　按第一部分来看因为g(x)>=0 且单调减，所以g(a）> g(b). 若在被积函数中提出一个g(a)得到的值必定大于原积分，所以要相等必须缩减积分限。

 　　推论：

 

　　　　证明:

　　　　　　只需要证明g为单调递减函数即可，单调递增时同理

　　　　　　令 h(x)=g(x) - g(b)

　　　　　　h(x)也单调递减，可直接用定理得到h(x)f(x)为被积函数的一个等式，再把h(x)由g(x)-g(b)代入就可证明。

1、拉格朗日中值定理

中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。

2、柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

3、积分中值定理

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为:若f(x)≥0，x∈[a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。

第一中值及其推广形式，以及第二中值定理。其中第一中值定理的描述是说中值点在闭区间取，同时注明开区间内也一定存在中值点。证明过程看你用什么工具，证明闭区间结论的一定是牵扯到函数的连续性，开区间的一定是出现在微分中值定理。